Специалисты Московского центра фундаментальной и прикладной математики разработали алгоритм, который даст возможность исследовать физику мира элементарных частиц в различных направлениях. Созданный алгоритм уже прошел апробацию и в 2023 году будет развиваться в рамках гранта Математического центра.

Одним из направлений работы Московского центра фундаментальной и прикладной математики являются исследования в области физики элементарных частиц. Направление, в первую очередь, реализуется в лаборатории математического моделирования Научно-исследовательского вычислительного центра (НИВЦ) МГУ, которую возглавляет доктор физико-математических наук Александр Смирнов. 

Физика элементарных частиц изучает наш мир на микроуровне – уровне взаимодействия этих частиц. Так называемая стандартная модель вполне удовлетворительно описывает электромагнитное, слабое и сильное взаимодействие элементарных частиц. Однако в рамках квантовой теории поля эта модель не допускает точных решений, и поэтому приходится применять разнообразные вспомогательные подходы. Как правило, используется метод теории возмущений. В этом случае амплитуды процессов, сечения рассеяния, функции Грина и т.д. вычисляются по теории возмущений, т.е. результаты выражаются через несколько первых членов разложения в степенные ряды по константам взаимодействия, а члены этого ряда выражаются именно через фейнмановские интегралы, сопоставляемые графам Фейнмана по определённым правилам. Интегрирование здесь ведется по так называемым петлевым импульсам, т. е. четырёхмерным векторам энергии-импульса.

Фейнмановские интегралы обладают очень богатой математической структурой. Для их анализа и вычисления используются самые разные разделы математики, а развитие некоторых математических разделов было стимулировано именно потребностями физики элементарных частиц.

Один из эффективных методов вычисления фейнмановских интегралов Фейнмана основан на представлении Меллина-Барнса, которое вводится с помощью очень простой формулы: сумма двух слагаемых (A+B), возведенная в некоторую степень p записывается через интеграл по дополнительному параметру z от произведения этих слагаемых, возведенных в степени z и p-z. Подразумевается интегрирование в комплексной плоскости по контуру, удовлетворяющему некоторым специальным условиям. За счёт такого превращения сумм в произведения удаётся изначально присутствующие интегрирования провести аналитически и получить для исходной величины (фейнмановского интеграла или его параметрического интегрального представления) многократный интеграл Меллина-Барнса по вспомогательным параметрам zi. Такие интегралы удается вычислять алгоритмически с помощью публичных компьютерных кодов. Нетривиальным моментом в применении этого метода оказывается вывод подходящего представления Меллина Барнса, приводящего к интегралу минимальной размерности по zi.

Участники проекта за много лет накопили большой опыт выведения оптимальных интегралов Меллин-Барнса, и в результате Владимир Смирнов, ведущий сотрудник НИИЯФ МГУ, сформулировал основные принципы, используемые при выводе таких представлений. Оказалось возможным описать их в виде алгоритма и затем реализовать его в виде публичного компьютерного кода на платформе Mathematica. Разработанный алгоритм прошел апробацию в конце 2022 года – начале 2023 года и будет далее развиваться в рамках гранта Математического центра в текущем году.

Наличие нового алгоритма позволило вести работы в физике элементарных частиц в различных направлениях. В одним из них предложено определение вильсоновской петли вне массовой оболочки как прототипа вильсоновской петли на кусочно криволинейном контуре с глюонами вне массовой оболочки. Исследовано поведение этого нового объекта в пределе стремления на массовую оболочку. С помощью явных аналитических вычислений установлено, что поведение в этом пределе оказывается экспоненциальным и описывается так называемой октагонной аномальной размерностью, которая недавно была определена при исследовании шестиугольных глюонных амплитуд.

Для анализа асимптотического поведения параметрических интегралов, возникающих в задаче, использовалось так называемая стратегия разложения по областям, которая представляет собой универсальный метод для разложения параметрических интегралов от рациональных функций, а затем параметрические интегралы, возникшие в асимптотике, вычислялись с помощью представления Меллина-Барнса.

Другая задача ученых – это аналитическое вычисление судаковского формфактора вне массовой оболочки в максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса. Исследовано асимптотическое поведение судаковского формфактора и с помощью явных аналитических вычислений установлено, что вплоть до трёхпетлевого приближения не только инфракрасно расходящийся вклад, но и конечные слагаемые в асимптотике экспоненциируются, причём коэффициент при логарифме массивного параметра m², стремящегося к нулю, задаётся так называемой октагонной аномальной размерностью. 

«Такое поведение не согласуется с предположениями, сформулированными ранее в литературе, и поэтому представляет собой довольно нетривиальный результат. На основании этого исследования предложена гипотеза о том, что такое асимптотическое поведение имеет место во всех порядках теории возмущений, – объясняют ученые. – В настоящее время нами проводятся исследования асимптотического поведения в других аналогичных ситуациях с целью выявить, какие аномальные размерности там проявятся». 

Интересно, что асимптотическое поведение исследовалось двумя альтернативными методами: методом дифференциальных уравнений и методом, основанным на стратегии разложения по областям. В рамках первого метода ученые использовали приведение дифференциальных уравнений для мастер-интегралов к так называемому каноническому виду за счет перехода к новому базису мастер-интегралов. Затем решения полученных уравнений естественно выражались через многократные полилогарифмы, которые после этого разлагались в исследуемом пределе. В рамках второго метода использовалась стратегия разложения по областям. В задаче нужно было вычислить только ведущую асимптотику в пределе m→0. После применялось представление Меллина-Барнса для аналитического вычисления интегралов, возникающих в асимптотике. Оба метода привели к одинаковым результатам, что послужило дополнительной проверкой.

Источник: МГУ им. М. В. Ломоносова.