Математический метод позволяет оценить скрытую структуру горной породы, не разрушая ее образец
Сотрудники Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова и Института химии и технологии редких элементов и минерального сырья им. И.В. Тананаева Кольского научного центра РАН создали универсальный математический конвейер для количественного анализа трёхмерных изображений многофазных материалов.
Новый подход позволяет извлекать из рентгеновских томограмм данные о связности, анизотропии и пространственной организации минералов, недоступные традиционным методам. Результаты опубликованы в журнале Mathematics.
Рентгеновская микротомография давно дает возможность получать объёмные «снимки» внутренней структуры камня, не распиливая его. Такое изображение намного информативнее традиционного двумерного среза и выявляет прожилки и соединения, связи и контакты входящих в образец минералов, форму каждого кристалла, трещины, извилистость и сколы. Однако словесное описание томограммы субъективно: один исследователь заметит в ней каналы, другой — плоскости, третий — взаимодействия округлых зёрен с криволинейными прожилками.
Концептуальный алгоритм предлагаемой структуры. Сегментированный трёхмерный объём меток разлагается на фазовые домены. Каждая фаза сначала характеризуется скалярными фрактальными, топологическими и дескрипторами Минковского. Затем скалярная базовая модель расширяется тремя дополнительными модулями: профилями отклика на разрез, дескрипторами направленной связности и ориентации, а также тензором Минковского второго ранга. Выходные данные представляют собой набор дополнительных дескрипторов заполнения объёма, фрагментации, туннелей, полостей, направленного охвата, локализованной топологической чувствительности и анизотропии нормали к поверхности
Самое важное в научном знании — воспроизводимость, и обеспечить её может только строгий численный язык. Существующие математические инструменты — фрактальная размерность, показывающая степень заполнения пространства, числа Бетти, описывающие количество изолированных зёрен, сквозных каналов и замкнутых пор, а также функционалы Минковского, характеризующие объём, площадь поверхности и кривизну, — дают лишь усредненные «портреты» фаз, но не отвечают на вопрос, где именно и в каком направлении сосредоточены те или иные структуры.
Авторы работы объединили все эти показатели в единый вычислительный конвейер и дополнили их тремя новыми модулями. Первый — метод «виртуальных разрезов»: трёхмерная модель мысленно рассекается плоскостями вдоль каждой из осей координат, после чего топологические показатели пересчитываются для двух половинок. Это выявляет зоны, в которых структура наиболее чувствительна к расслоению. Второй модуль оценивает направленную связность — пронизывает ли данная фаза образец от края до края. Третий — тензор Минковского — количественно описывает преимущественную ориентацию поверхностей зёрен.
Пример визуализации эталонного объёма с удалённым фоном: (A) Исходный полутоновый срез внутри маски образца на уровне z = 214; более яркие воксели соответствуют более высокому уровню ослабления рентгеновского излучения. (B) Результат сегментации фаз методом MultiOtsu для того же среза (z = 214). (C) Трёхмерное изображение внешней поверхности сегментированного образца. Цветовое обозначение фаз сохраняется неизменным на протяжении всей статьи: фаза с плотностью серпентина — синий цвет, фаза с плотностью оливина — зелёный, фаза с плотностью матрицы — светло-серый, фаза с плотностью магнетита — оранжево-красный
Работоспособность метода была продемонстрирована на образце меймечита из Контозерского вулкано-плутонического комплекса Кольского полуострова. Математический анализ показал, что магнетитовая фаза, несмотря на рекордную фрагментарность и огромную удельную площадь поверхности, не образует ни одного сквозного канала через образец, тогда как другие фазы формируют единую сеть, пронизывающую породу вдоль вертикальной оси. «Виртуальные разрезы» подтвердили скрытую направленность структур: трещиноватость и поры ряда минералов оказались наиболее чувствительны к расслоению именно вдоль вертикали, что математически доказывает их вытянутость.
Учитывая, что при этом не изготавливались традиционные шлифы, а выводы о пространственном расположении, связности и анизотропии фаз были сделаны исключительно на основе их трёхмерной геометрии и топологии рентгеновской плотности, можно смело утверждать: сделан новый существенный шаг в возможностях анализа геологических пород. Трёхмерное изображение одного образца, обработанное по новой методике, даст огромное количество сведений о его внутренней архитектуре сразу.
Разработанный конвейер универсален: его можно применять не только к горным породам, но и к пористым средам, композитным материалам, биоматериалам, аддитивно изготовленным деталям и любым другим объектам, для которых доступно трёхмерное томографическое изображение.
Исследование выполнено при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации и МГУ.
Источник: пресс-служба Минобрнауки России.
