Специалист в области численных методов, оптимизации алгоритмов, теории функций, математических проблем механики и физики.
Н.С. Бахваловым предложена методика исследования накопления вычислительной погрешности при решении краевых задач и новые методы решения краевых задач. Поставлена и в ряде случаев решена проблема оптимизации методов решения задач с сингулярной зависимостью от малого параметра. Впервые сформулирована проблема оптимизации на классах задач для недетерминированных и самонастраивающихся методов решения. Построены оптимальные по порядку погрешности детерминированные и недетерминированные методы вычисления интегралов для практически произвольного набора классов функций, задаваемых ограничениями на нормы производных. При решении этой задачи получено большинство известных ныне оценок снизу трудоемкости вычислений детерминированных методов решения таких задач и все известные оценки снизу для недетерминированных (вероятностных) методов. Получены первые оценки погрешности в целом для конечно-разностных методов решения квазилинейных гиперболических уравнений (c разрывными решениями). Поставлена и решена задача построения оптимальных по порядку методов решения уравнений Лапласа и Пуассона. Внесен принципиальный вклад в создание многосеточного метода решения эллиптических уравнений, являющегося оптимальным по трудоемкости и одним из практически наиболее применяемых современных методов решения дифференциальных уравнений эллиптического типа. Н.С. Бахвалов руководил решением многих сложных прикладных задач, большей частью в области волновой физики, в т.ч. работами по обсчету лазеров, распространению нелинейных звуковых пучков (звук под водой), диаграмм направленности радиотелескопа "Ратан-600". Многие из этих работ выполнены в сотрудничестве с академиками А.М.Прохоровым и Р.В.Хохловым.
Другим направлением, в котором академик Н.С. Бахвалов вел интенсивные исследования последние десять лет, является построение методов эффективного решения дифференциальных уравнений с частными производными с большим разбросом коэффициентов. Эти методы находят применение при решении стационарных и нестационарных задач в областях сложной формы методом фиктивных областей и допускают эффективное распараллеливание на многопроцессорных ЭВМ.
Ключевые слова
вычислительная математика, дифференциальные уравнения, механика неоднородных сред