Специалист в области современной математики и ее новых направлений.
Работы И.М.Гельфанда преобразовали многие разделы современной математики и, прежде всего, в области алгебры, функционального анализа, дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, прикладной математике. Разработанные им теория бесконечномерных представлений групп Ли, теория нормированных колец, гармонический анализ для некомпактных групп Ли являются выдающимися достижениями в современной алгебре. Они находят многочисленные приложения, в частности в физике элементарных частиц и квантовой теории поля.
В области дифференциальных уравнений И.М.Гельфандом разработан гамильтонов формализм для интегрируемых систем, обобщающих уравнения Кортевега-де Фриза. Ему принадлежат многие новые идеи и методы в теории обобщенных функций, создание совершенно нового направления – интегральной геометрии.
Выдающиеся результаты И.М.Гельфанда в области фундаментальной математики позволили ему получить решение большого числа актуальных прикладных задач. Это относится как к вычислительной математике, созданию новой техники, так и другим фундаментальным наукам, физике, биологии и медицине. Широко известны его работы в области нейрофизиологии, цитологии
они получили широкое применение в медицинской диагностике.
Педагогическая деятельность И.М.Гельфанда привела к созданию нескольких больших математических школ, работающих сегодня в самых разных странах мира. Ему принадлежат замечательные учебники и монографии, в том числе по элементарной математике, переведенные на многие языки мира и пользующиеся огромной популярностью. Он много сил и энергии отдал созданию и успешной работе престижного журнала «Функциональный анализ и его приложения»
Ключевые слова
математика, прикладная математика