А. Н. Коновалов – специалист в области математического моделирования и вычислительной математики. Основными направлениями научных исследований А. Н. Коновалова являются: разработка и обоснование математических моделей задач механики сплошной среды, экономичных методов их численной реализации и теории итерационных методов решения сеточных уравнений.
Он автор и соавтор более 100 научных работ. В их числе монографии: «Численное решение задач теории упругости», «Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости», «Решение задач теории упругости в напряжениях», «Введение в вычислительные методы линейной алгебры», «Problem of Multiphase Fluid Filtration».
Научные интересы Анатолия Николаевича всегда были направлены на развитие и практическую реализацию современной технологии математического моделирования: модель – алгоритм – программа.
Принципиально новой является предложенная им сопряженно-операторная постановка непрерывных и дискретных задач теории упругости. На ее основе А. Н. Коноваловым получены и обоснованы новые классы экономичных разностных схем для стационарных и нестационарных задач механики сплошной среды (упругость, вязкоупругость, многофазная фильтрация, теплопроводность).
Созданная под руководством А. Н. Коновалова его учениками, теория сеточного ковариантного дифференцирования существенно дополнила классические результаты, касающиеся построения и численной реализации экономичных разностных схем, и дала возможность распространить их на случай произвольной криволинейной системы координат.
Вместе со своими учениками А. Н. Коноваловым построена общая теория метода фиктивных областей. Ее развитие позволило предложить и обосновать новый алгоритм построения локально-двусторонних приближений для решений прямых и спектральных задач математической физики.
В связи с быстрым развитием многопроцессорных комплексов все более востребованными становятся результаты А.Н Коновалова по разработке устойчивых алгоритмов распараллеливания сеточных задач и модульным принципам построения пакетов прикладных программ.
В последние годы А. Н. Коноваловым получены фундаментальные результаты в области итерационных методов решения линейных операторных уравнений первого рода в конечномерных гильбертовых пространствах. Им построен новый класс градиентных адаптивных итерационных методов, оптимизация которых не требует априорной спектральной информации, а вырабатываемая в процессе их реализации апостериорная информация позволяет применять оптимальные процедуры ускорения (чебышевские, сопряженные градиенты). Полученные на этой основе асимптотически оптимальные гибридные итерационные процессы существенно повышают эффективность вычислительного эксперимента на высокопроизводительных многопроцессорных комплексах.
Ключевые слова
математическое моделирование, математическая физика