Развивает научное направление в механике, связанное с изучением разрывных решений в твёрдых деформируемых и жидких средах. Им разработан метод получения системы граничных условий на разрывах, основанный на изучении их структуры; получены асимптотические условия устойчивости течений в протяженных областях. 

Им обнаружены и исследованы важные свойства разрывных решений уравнений магнитной гидродинамики, нелинейной теории упругости, а также ряда других широко используемых моделей механики сплошных сред. 

Проведен анализ поведения разрывных решений гиперболических систем нелинейных уравнений и при достаточно общих предположениях получен ряд утверждений, относящихся к формированию полной системы уравнений на разрывах и к вопросу о единственности одномерных решений. 

Для задач устойчивости произвольных одномерных или квазиодномерных течений или процессов, происходящих в протяженных областях, им введено понятие глобальной неустойчивости и найдены условия роста возмущений, не зависящих от конкретного задания граничных условий.

Ведёт преподавательскую работу на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова. Им подготовлено 17 кандидатов и 9 докторов наук. 

Имеет звание Заслуженного профессора МГУ им. М. В. Ломоносова.

Член Российского национального комитета по теоретической и прикладной механике.
Член редколлегий научных журналов «Известия РАН. Механика жидкости и газа», «Прикладная математика и механика» РАН, «Вычислительной математики и математической физики» РАН.
Член диссертационных советов Математического института им. В. А. Стеклова РАН и механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Основные труды

•‎ Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах, Московский лицей, Москва, 1998, 412 с. (монография).
•‎ Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. Москва, Физматлит, 2001, 607 с. (Глава 7).
(монография).
•‎ А.Г. Куликовский, Г.А.Любимов Магнитная гидродинамика. Москва. Логос.2005.326 с. (монография).
•‎ А.Г.Куликовский, А.П. Чугайнова Классические и неклассические разрывы в решениях уравнений нелинейной теории упругости. Успехи математических наук. 2008, 63:2 (380)
C. 85–152.
•‎ А.Г. Куликовский Об устойчивости однородных состояний. Прикладная математика и механика. 1966. Т.30. Вып.1.С.148-153.
•‎ А.Г. Куликовский Об условиях устойчивости стационарных состояний или течений в областях, протяженных в одном направлении. Прикладная математика и механика. 1985. Т.49. Вып.3.С.411-418.
•‎ А.Г. Куликовский О глобальной неустойчивости однородных течений в неодномерных областях . Прикладная математика и механика. 2006. Т.70. Вып.2.С.257-263.

Премии и награды

•‎ Государственная премия РФ (2003).
•‎ Премия РАН им. С. А. Чаплыгина.
•‎ Премия и медаль имени Л. И. Седова Российского национального комитета по теоретической и прикладной механике.
•‎ Медаль «За трудовое отличие» (1986).