Научные интересы

Получил ряд результатов в области топологии многообразий, в том числе, разработал теорию элементарных преобразований специальных полиэдров, теорию сложности трехмерных многообразий, доказал эквивалентность гипотезы Зимана объединению гипотез Пуанкаре и Эндрюса-Kертиса, решил проблему Цишанга, совместно с А. Т. Фоменко построил гиперболическое трехмерное многообразие наименьшего объема.

Завершил доказательство теоремы алгоритмической классификации трёхмерных многообразий, включая алгоритмическую классификацию узлов.

Построил теорию корней геометрических объектов, с помощью которой доказал ряд важных теорем о примарных разложениях различных объектов, включая гомологически тривиальные узлы в утолщенных поверхностях, виртуальные узлы, а также опроверг аналогичную «фольклорную» теорему для трехмерных орбифолдов. 

Впервые построил универсальный алгебраический инвариант классических узлов (который сейчас называется quandle). 

Построил теорию эффективного распознавания трёхмерных многообразий и вместе с учениками разработал пакет компьютерных программ, с помощью которого впервые составил интерактивную таблицу всех замкнутых неприводимых трехмерных многообразий до сложности 13 (всего более 100 тысяч многообразий). 

Разработал теорию обобщенных перестроек трехмерных многообразий, которая оказалась полезной для построения инвариантов конечного типа для трехмерных многообразий. 

Вместе с В.Г. Тураевым вычислил значения инвариантов Дейкграафа-Виттена для основных классов трехмерных многообразий, включая многообразия Зейферта.

Научные публикации

• Algorithmic Topology and Classification of 3-Manifolds, Algorithms and Computation in Mathematics, 9, Second Edition, Springer, Berlin, Heidelberg, 2007, xiv+492 pp.
• “Дистрибутивные группоиды в теории узлов”, Математический сборник, 119(161):1(9) (1982), 78–88.
• “Корни и разложения трехмерных топологических объектов”, Успехи математических наук, 67:3(405) (2012), 63–114.
• Лекции по алгебраической топологии, Современная математика, Ижевский институт компьютерных исследований, Москва, Ижевск, 2003, 96 с.
• “Гипотеза Зимана для неутолщаемых специальных полиэдров эквивалентна гипотезе Эндрюса-Кертиса”, Сибирский математический журнал, 28:6 (1987), 66–80.
• (с А. Т. Фоменко) Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии, Кибернетика – неограниченные возможности и возможные ограничения, второе издание, Наука, Москва, 1998, 302 с.

Премии и награды

• Медаль ордена «За заслуги перед Отечеством» II ст., 03.12.2001 г.
• Медаль ордена «За заслуги перед Отечеством» I ст., 25.07.2007 г.

Персональные профили исследователя

Web of Science: P-8422-2018.
Scopus: 16407484100.
РИНЦ: 1876-1273.
ORCID: 0000-0001-6017-6006.
MathSciNet: 225371.