Основные труды в области алгебраической теории чисел и теории Галуа, алгебраической геометрии, геометрии многообразий, теории интегрируемых систем, по истории математики. Были изданы собрания сочинений Г. Вейля и Д. Гильберта.
А. Н. Паршиным были созданы новые методы в теории диофантовых уравнений (метод разветвлённых накрытий, конструкция канонических высот, оценки с помощью гиперболической метрики Кобаяши). Им было доказано, что гипотеза Морделла сводится к гипотезе Шафаревича о конечности числа классов изоморфизма абелевых многообразий с заданными свойствами
впоследствии этот результат был использован Фальтингсом в его доказательстве гипотезы Морделла.
Также им было дано определение n-мерных локальных полей и получены их применения к теории полей классов, теории вычетов, теории векторных расслоений на алгебраических поверхностях, формуле Лефшеца для неподвижных точек, построению обобщения иерархии Кадомцева-Петвиашвили на случай n переменных. Построен гармонический анализ на двумерных локальных полях и доказан бесконечномерный аналог формулы Пуассона. Построена теория представлений дискретных групп Гейзенберга ( получена классификация неприводимых бесконечномерных представлений, описано пространство модулей, доказано существования характеров и их вычисление как тета-функций).
Ключевые слова

диофантовы уравнения, неравенства для высоты, локальные поля и адели, дзета-функции, теория представлений дискретных групп Гейзенберга