Специалист в области эргодической теории, теории динамических систем, математических проблем статистической физики и теории вероятностей.

Уже в ранних работах Я.Г. Синая были доказаны теоремы, давшие возможность вычислять энтропию для широкого класса динамических систем, после чего в научной литературе прочно утвердился термин энтропия Колмогорова – Синая. В дальнейшем он не раз возвращался в своих исследованиях к понятию энтропии, занимаясь как общими проблемами эргодической теории, так и изучением конкретных классов динамических систем, таких как геодезические потоки на поверхностях отрицательной кривизны, потоки
с трансверсальными слоениями.

Современную теорию странных аттракторов невозможно представить без физических мер или мер Синая-Рюэля-Боуэна, концепция которых предложена в работах Я.Г. Синая.

Широкую известность получили построенные им марковские разбиения для диффеоморфизмов Аносова.

Большой цикл работ посвящен теории рассеивающих биллиардов (биллиардов Синая). Этот класс динамических систем весьма важен для целого ряда приложений.

В области статистической физики Я.Г. Синаем предложен метод корреляционных уравнений в области фазовых переходов и создана общая теория низкотемпературных фазовых переходов в системах с конечным числом основных состояний.

Работая на стыке статистической механики и теории динамических систем, он положил начало созданию нового направления, получившего наименование термодинамического формализма, построили кластерную бесконечночастичную динамику для систем частиц с естественным с физической точки зрения взаимодействием, решили многие другие задачи.
В теории вероятностей рассмотрен важный с физической точки зрения круг задач о случайных блужданиях в случайных средах.

Хорошо известны работы Я.Г. Синая в области квантового хаоса, динамических свойств уравнения Бюргерса, а также одномерной динамики.

Ключевые слова

эргодичность, перемешивание, уравнение Навье-стокса, оператор Лапласа