Шишмаревым И.А. получен ряд результатов по вопросам о разрешимости краевых задач и задач на собственные функции для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами, моделирующих свойства неоднородных сред.; Основные достижения Шишмарева И.А. связаны с изучением локальных и нелокальных нелинейных уравнений математической физики. Рассмотрены задачи о построении гладких и обобщенных решений, о сглаживании со временем разрывных начальных данных, о локальном и глобальном во времени существовании решений, о заострении волн.; Дано решение проблемы Дж. Уизема об опрокидывании поверхностных волн за конечное время (с двусторонней оценкой времени опрокидывания), а также проблемы Дж. Бона об устойчивости бегущих волн для уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса. Разработаны новые методы построения асимптотики при больших временах для решений нелинейных эволюционных уравнений и систем уравнений таких, как обобщенное уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение Ландау-Гинзбурга, уравнение гидродинамики, учитывающее термокапиллярные эффекты, нелинейное уравнение типа Соболева, система уравнений Буссинеска для поверхностных волн с вязкостью, система уравнений Навье-Стокса и др, причем во всех перечисленных задачах главный член асимптотики решения при больших временах выписывается в явном виде и дается оценка остатка в равномерной метрике.; Шишмарев И.А. читает в МГУ курсы лекций “Функциональный анализ”, “Нелинейные дифференциальные уравнения”, спецкурс “Дополнительные главы теории нелинейных уравнений”, ведет научный семинар по нелинейным уравнениям.