Исследования британского астрофизика Стивена Хокинга, в которых рассматриваются квантовые процессы вблизи горизонта черной дыры, показывают, что у черных дыр есть излучение. Долгое время считалось, что из черной дыры ничего не может улететь, но оказалось, что это не так. Напротив, невозможно существование черной дыры без излучения, без рождения частиц. Младший научный сотрудник Института ядерных исследований РАН Инна Иванова в своем исследовании проверила гипотезу о том, может ли существовать черная дыра, не излучающая частицы. Как минимум для ряда важных частных случаев ученому удалось доказать, что это невозможно, на математическом уровне.

На примере действия идеальной жидкости с переменным числом частиц было исследовано феноменологическое описание процессов рождения частиц на фоне сильных внешних полей. Работа опубликована в англоязычном журнале Physics of Particles and Nuclei Letters («Физика частиц и атомного ядра»). Показана конформная инвариантность части действия, связанной с законом рождения частиц. Для сферически симметричных геометрий было продемонстрировано, что физический вакуум для этой модели не может быть описан вакуумными решениями типа черной дыры как в общей теории относительности, так и для некоторых случаев квадратичной гравитации.

Исследование процессов рождения частиц в присутствии сильных внешних полей играет важную роль как в космологии, так и в физике черных дыр. Космологическое рождение частиц в рамках общей теории относительности широко изучалось в 70-х годов прошлого века многими авторами. Благодаря результатам их работ мы многое знаем о структуре контрчленов, роли конформной аномалии в процессах рождения частиц и так далее. Особенно актуальны на настоящий момент данные результаты в рамках исследования процессов рождения, происходящих в ранней Вселенной, которыми занимаются ведущие мировые ученые, такие как Г. Хоофт, Р. Пенроуз и другие.

При изучении рождения частиц наиболее сложной задачей является учет обратного влияния этих процессов на метрику. Рождение частиц – это квантовый процесс, и чтобы решить какую-то квантовую задачу, необходимо задать граничные условия, в то время как последние могут быть наложены только после решения классических уравнений поля с тензором энергии-импульса, полученным соответствующим усреднением из квантовой задачи. Исходно мы считаем, что у нас был вакуум, и потом, когда частицы родились, они создают некую энергию, соответственно появляется ненулевой тензор энергии импульса в правой части полевых уравнений гравитации.

Задача получается замкнутой на саму себя: для того, чтобы решить ее, нам необходимо граничное условие, для подбора которого нужно решить классическую задачу. А в свою очередь для классической задачи нужен усредненный источник квантовой задачи. Для того, чтобы решить эту проблему, старший научный сотрудник Института ядерных исследований РАН, доктор физ.-мат. наук Виктор Березин предложил модель, описывающую процесс рождения частиц феноменологически на классическом уровне, но с учетом обратного влияния. А именно, он рассмотрел модификацию лагранжиана идеальной жидкости в эйлеровых переменных с непостоянным числом частиц.

Лагранжиан – это разница между кинетической и потенциальной энергией, он зависит от некоторых функций – динамических переменных. В самом простом случае у нас есть частица с кинетической энергией 1/2MV². Ее лагранжиан зависит от скорости V, а скорость, в свою очередь, зависит от времени. Если эту функцию проинтегрировать по времени, от одной точки до другой, то у нас получится интегральная кинетическая энергия, которая в данном случае является действием. И есть такой физический закон, что действие должно быть минимальным: принцип наименьшего действия. Действие мы рассматриваем не как функцию, и не как число, а как функционал, то есть объект, который ставит в соответствие функции некоторое число. Когда мы варьируем действие по траектории, его экстремум находится из условия равенства вариации нулю. Таким образом, мы получаем уравнения движения, решением которых является некоторая функция от времени. Она и является той траекторией, которая минимизирует наше исходное действие.

Точно так же получаются полевые уравнения в гравитации, но там вместо лагранжиана используется плотность лагранжиана: происходит интегрирование не только по времени, но и по пространству. Это связано с тем, что динамической переменной является уже не траектория, как в случае с точечной частицей, а поле, которое имеет разные значения в разных точках пространства. А именно, в гравитации динамической переменной является метрика – функция, которая определяет, как измеряются расстояния между двумя точками. При этом под расстоянием мы, как и в теории относительности, понимаем расстояние в пространстве-времени. У нас получаются объекты с координатами (t1, x, y, z) и (t2, x,y,z), интервал между этими двумя событиями, определяется метрикой. И если мы варьируем действием общей теории относительности, а в этой теории это действие Эйнштейна-Гилберга, мы получаем уравнение Эйнштейна. Иными словами, уравнение Эйнштейна определяет, какая метрика задает экстремум данного действия.

Хотя есть системы, которые сложно описать с точки зрения наименьшего действия, для них сложно построить лагранжиан – например, в системах с трением напрямую построить лагранжиан нельзя – но в большинстве классических теорий мы используем принцип наименьшего действия. В частности этот принцип используется для описания движения частиц идеальной жидкости. Это и уравнение Эйлера, и уравнение Бернулли, и уравнение Навье-Стокса – их при желании тоже можно получить из принципа наименьшего действия. То есть, принцип наименьшего действия можно применить для очень широкого круга задач.

В классической гидродинамике есть два типа динамических переменных, по которым варьируется действие: лагранжевы переменные и эйлеровы переменные. Первые привязаны к движению отдельных частиц, поэтому не подходят для описания процессов рождения частиц, тогда как эйлеровы переменные - это некие усредненные характеристики среды.

Виктор Березин еще в работе 1987 года предложил модификацию действия идеальной жидкости в эйлеровых переменных, при которой закон сохранения числа частиц, явно входящий в лагранжиан в виде связи, заменяется на так называемый «закон рождения». Исходно, закон сохранения числа частиц входит в лагранжиан в дифференциальной форме, то есть его левая часть представляет из себя дивергенцию числа частиц, проходящих за единицу объема в единицу времени. В правой части уравнения, если мы постулировали, что число частиц сохраняется, был ноль. В. Березин предложил ввести здесь некую функцию, которая будет описывать изменение плотности числа частиц, процессы их рождения под действием каких-то внешних полей. В частности, в качестве такого внешнего поля может рассматриваться и гравитация. Если метрика не плоская, то она тоже может создавать поляризацию вакуума, то есть, такие условия, при которых рождаются частицы. В общем случае эта функция источника зависит от инвариантов внешних полей, ответственных за процесс рождения, таких как гравитация, внешнее скалярное или электромагнитное поле и так далее.

Младший научный сотрудник Института ядерных исследований РАН Инна Иванова совместно с Виктором Березиным выяснила, что левая часть «закона рождения» – оказывается конформно инвариантной (то есть, инвариантной относительно локального конформного преобразования).

Локальное конформное преобразование сводится к умножению метрики на некую фиксированную функцию времени и координат. В качестве наглядного геометрического примера глобального конформного преобразования можно рассмотреть изменение радиуса сферы. При этом метрика умножается метрики на некоторое фиксированное число, так как метрика измеряет расстояние, и если кратно увеличить радиус сферы, то так же кратно увеличатся расстояния.

Если левая часть закона рождения конформно инвариантна – это означает, что и правая часть, источник или функция, описывающая влияние внешних полей, которые вызывают рождение частиц, тоже должна быть конформно инварианта. Если мы рассматриваем ситуацию, когда рождение частиц вызвано исключительно влиянием гравитации, то функция источника зависит только от геометрических инвариантов. Если ограничиться инвариантами, которые не более чем квадратичны по тензору кривизны, то единственным вариантом для левой части окажется квадрат тензора Вейля, так как в римановой геометрии квадрат тензора Вейля, помноженный на корень из модуля детерминанта - это единственно возможная конформно инвариантная комбинация. Ограничение на степень тензора кривизны связано с тем, что ученые хотели добиться согласования с результатами, получаемыми в квантовой теории.

Что интересно, подобный результат в 1977 году был описан в работе Я.Б. Зельдовича и А.А. Старобинского, где рассматривалось рождение частиц, обусловленное вакуумными флуктуациями безмассового скалярного поля для фиксированной фоновой метрики, а именно однородной слабоанизотропной космологии.

А теперь ученые ИЯИ РАН доказали, что этот результат для функции источника является универсальным для произвольной метрики в римановой геометрии с учетом обратного влияния, независимо от формы гравитационного лагранжиана. Таким образом, Инна Иванова и Виктор Березин нашли универсальную формулу закона рождения частиц в случае, если влияющим фактором является только гравитация.

Далее, если рассмотреть сферически симметричные метрики в общей теории относительности, то окажется, что для этой модели можно рассмотреть состояние, когда частиц нет, то есть, функция рождения равна нулю (по-другому это состояние ученые называют «беременным вакуумом»). Частиц пока нет, но они могут родиться. Это соответствует ряду случаев в космологии – например, времени перед Большим взрывом. Для такой конфигурации, когда плотность числа частиц равна нулю, и правая часть закона рождения равна нулю, можно показать, что в общей теории относительности сферически симметричное решение общего вида, то есть решение Шваршильда-де Ситтера, которое описывает черную дыру, сводится к частному случаю геометрии де Ситтера, в которой черной дыры нет. Есть кривое пространство, но без черной дыры. И только такое пространство для этого случая, сферически симметричного, соответствует вакууму без частиц.

Также можно рассмотреть квадратичную гравитацию – одну из возможных модификаций общей теории относительности. Лагранжиан общей теории относительности пропорционален скалярной кривизне R. Если рассмотреть случаи более общего вида: например, добавить степени R, сказать, что лагранжиан в нашем случае представляет собой какой-то коэффициент, умноженный на R плюс другой коэффициент, умноженный на R в квадрате – тогда получится квадратичная гравитация. Помимо квадрата скалярной кривизны мы можем добавлять разные квадратичные комбинации тензора Римана.

Для сферически-симметричной конформной гравитации или для случая квадратичной гравитации, в котором метрика зависит только от радиуса, тоже можно показать, что вакуум нашей модели, идеальной жидкости, соответствует решениям, которые не описывают черную дыру. Нельзя считать это строгим доказательством, так как здесь мы рассматриваем ряд частных случаев, но полученные результаты это намек на то, что у нас не может быть черной дыры без рождения частиц, то есть, без излучения. В данном случае идеальная жидкость – это не частицы жидкости в бытовом понимании, а частицы вещества с разными уравнениями состояния. В частности, эта модель может описывать частицы излучения.

Таким образом, показано, что «беременный вакуум» не может описывать решения типа черной дыры. Для ряда частных случаев, как общей теории относительности, так и квадратичной гравитации, было продемонстрировано, что не может быть черной дыры без рождения частиц.

Источник: ИЯИ РАН.