Математик
Член-корреспондент РАН по разряду математических наук Отделения физико-математических наук с 6 декабря 1924 г., академик АН СССР по тому же Отделению (математика) с 12 января 1929 г.
Академик АН УССР (1925). Основные труды по теории дифференциальных уравнений (условия аналитичности решений), теории функций (приближение функций многочленами), теории вероятностей (аксиоматика, предельные теоремы). Государственная премия СССР (1942).
Окончил Парижский университет (1899) и Парижскую высшую электротехническую школу (1901).
В 1907—1908 работал на Женских политехнических курсах в Петербурге (с 1907 — профессор), в 1908—1918 — на Высших женских курсах в Харькове, в 1908—1933 — также в Харьковском университете, в 1933—1941 — профессор Ленинградского университета и Ленинградского политехнического института, с 1935 г работал в Математическом институте АН СССР.
Основные исследования посвящены теории дифференциальных уравнений, теории приближения функций многочленами и теории вероятностей. В теории дифференциальных уравнений доказал, что решения уравнений с частными производными эллиптического и гиперболического типов при некоторых достаточно общих условиях являются аналитическими функциями, создал новые методы решения граничных задач для нелинейных уравнений эллиптического типа. Метод вспомогательных функций Бернштейна применяется в теории линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. В теории приближения функций полиномами продолжил и развил идеи П.Л. Чебышева, а также заложил основы конструктивной теории функций. В теорию вероятностей ввел (1911) неравенство, позволяющее заменить степенную оценку вероятности больших отклонений на экспоненциальную убывающую (неравенство Бернштейна)
дал (1917) первое аксиоматическое построение теории вероятностей, позже исследовал предельные теоремы и стохастические дифференциальные уравнения. Завершает цикл исследований в этом направлении работы по применению теории вероятностей к задачам физики и биологии. Ряд работ относится к функциональному анализу, вариационному исчислению, истории и методике преподавания математики. Создатель научных школ по теории дифференциальных уравнений, теории функций и теории вероятностей.