В теории ортогональных рядов им положительно решена старая задача о существовании полной ортонормированной системы, сходящимися почти всюду рядами, по которой может быть единственным образом представлена каждая функция из $L^2(0
1).$ Тем самым впервые построен базис в смысле сходимости почти всюду в $L^2(0
1).$ \

Предложен новый метод исследования ортогональных рядов, основанный на найденных им геометрических неравенствах. Получены ответы на вопросы, поставленные в известных работах Дж. Литтлвуда, Д. Е. Меньшова, Л. Карлесона и др.

В теории аппроксимации им завершено решение старой задачи о порядках поперечников соболевских классов гладких функций. Предложенный при этом метод оценок поперечников конечномерных множеств лег в основу многочисленных дальнейших исследований. При нахождении нижних оценок, так называемых n-членных аппроксимаций – тематике, ставшей актуальной в последние годы в связи с применением в алгоритмах сжатия информации, – принципиальное значение имеет результат Б.С.Кашина «о несжимаемости n–мерного куба».

В теории выпуклых тел фундаментальное значение приобрел весьма неожиданный его результат о существовании почти сферических сечений малой коразмерности у многомерных октаэдров. Этот факт лежит в основе нового метода обработки сигналов «сжатые измерения», активно внедряющегося в практику.

Принципиальную важность для приложений в анализе имеют установленные им оценки объемов выпуклых множеств. Им решена старая задача Б. Кнастера о свойствах линий уровня непрерывных функций на многомерной сфере.