В теории ортогональных рядов им положительно решена старая задача о существовании полной ортонормированной системы, сходящимися почти всюду рядами, по которой может быть единственным образом представлена каждая функция из $L^2(0
1).$ Тем самым впервые построен базис в смысле сходимости почти всюду в $L^2(0
1).$ Предложен новый метод исследования ортогональных рядов, основанный на найденных Б.С.Кашиным геометрических неравенствах. Получены ответы на вопросы, поставленные в известных работах Дж.Литтлвуда, Д.Е.Меньшова, Л.Карлесона и др.


В теории аппроксимации Б.С.Кашиным завершено решение старой задачи о порядках поперечников соболевских классов гладких функций. Предложенный при этом метод оценок поперечников конечномерных множеств лег в основу многочисленных дальнейших исследований. При нахождении нижних оценок, так называемых n-членных аппроксимаций - тематике, ставшей актуальной в последние годы в связи с применением в алгоритмах сжатия информации, - принципиальное значение имеет результат Б.С.Кашина "о несжимаемости n–мерного куба".


В теории выпуклых тел фундаментальное значение приобрел весьма неожиданный результат Б.С.Кашина о существовании почти сферических сечений малой коразмерности у многомерных октаэдров. Этот факт лежит в основе нового метода обработки сигналов "сжатые измерения", активно внедряющегося в практику.


Принципиальную важность для приложений в анализе имеют установленные им оценки объемов выпуклых множеств. Б.С.Кашиным решена старая задача Б. Кнастера о свойствах линий уровня непрерывных функций на многомерной сфере.
Ключевые слова

математический анализ, ортогональные ряды, теория аппроксимации, геометрия выпуклых тел