Специалист в области нелинейного функционального анализа и нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными.; ; Им были открыты такие направления в нелинейном анализе, как: нормальная разрешимость нелинейных уравнений и нелинейная альтернатива Фредгольма;; нелинейные вариационные тождества - тождества Похожаева; вложение нелиненых операторов и общая теория априорных оценок слабо нелинейных уравнений; глобальное расслоение в нелинейных вариационных задачах; нелинейные эллиптическая, параболическая и гиперболическая емкости и их приложения к проблемам глобальной разрешимости (теории катастроф решений нелиненых уравнений) и некоторые другие.; ; Предложенные им методы позволили впервые установить не только достаточные, но и необходимые условия глобальной разрешимости нелиненйых задач. Им получены такие принципиально новые результаты как: существование и отсутствие решений нового класса нелинейных эллиптических задач, включая задачи произвольного порядка с нелинейными граничными условиями; существование и отсутствие прериодических решений для некоторых нелинейных гиперболических уравнений, включая многомерные уравнения с нелинейным главным оператором; создание “таблицы Менделеева” нелинейных уравнений и систем, для которых были установлены критерии разрушения (катастроф) решений, что дало возможность создать основы общей теории катастроф нелинейных процессов.; ; Введенное им понятие "нелинейной емкости", порожденой нелинейным оператором позволило предложить новый (вариационный) подход к проблеме разрушения (blow-up) решений эволюционных нелинейных уравнений произвольного порядка. В случае нелинейных эллептических уравнений этот подход позволил установить теоремы типа Лиувилля на широкий класс нелинейных уравнений, включая уравнения с нелокальными нелинейностями.; ; Определенным итогом этого цикла работ явилось создание фундамента общей теории критических нелинейностей уравнений в частных производных.; ; Ключевые слова; ; математика, прикладная математика, нелинейный функциональный анализ, нелинейные уравнения с частными производными